[W-SE-75] 反復計算と収束性について

目次
1. 背景
2. 反復計算と収束判定
3. 非線形反復における収束判定の考え方
4. ICCG法における収束判定の考え方
5. おわりに
6. 参考文献

1. 背景

電気機器設計においてよく用いられる電磁界有限要素解析(FEA)には、図1に示すように材料特性決定のための非線形反復と、線形化された方程式を反復求解する2つの反復処理がある。これらの反復処理では、適切な判定方法や判定値を用いなければ必要な精度が得られない、もしくは不必要に処理時間を要するという課題がある。これらの課題に対し、我々は反復処理の安定化を目的として様々な取り組みを行っている。本報告では、局所量による非線形反復収束判定、ならびにICCG求解収束判定の改良について説明し、それにより今までの課題がどのように改善されるかを示す。


図1 電磁界有限要素解析の典型的な処理フロー
電磁界有限要素解析にはICCG、非線形計算の2つの反復処理がある。

2. 反復計算と収束判定

電磁界有限要素解析では、非線形反復の過程において磁束密度が図2のように変動する。この変動量が指定した判定値εNRよりも小さくなった場合に、収束と判定する。加えて、ICCG求解の収束を判断する残差は非線形反復の残差と密接に関係がある[5]。ある解析の第2時刻ステップにおけるICCG求解の残差履歴を抽出すると図3のようになる。このとき、縦軸であるICCG求解の残差は非線形反復初回の残差の大きさで除した値となっていることから、非線形とICCGの残差に関連があることが分かる。非線形反復回の切り替わりにおける残差に着目をして、これが十分かつ効率的に小さくなるように、ICCG求解反復を行えばよい。


図2 非線形反復の過程における磁束密度の変化
非線形計算が進むにつれて場全体の変動が小さくなっていく。

3. 非線形反復における収束判定の考え方

非線形の収束判定方法としてよく用いられるのが、次式のように各節点(3次元解析では辺)のベクトルポテンシャルの変動量を指標とする方法である。

(続く)

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